משולש בכתובים

הרב משה הסגל
מח"ס מגיד הרקיע
קרית ספר

משולש בכתובים

על הרמז בתורה לסגולת המשולש ישר הזוית, בקשר שבין האלכסון והניצב והשוכב

א. ידוע הקשר החשבוני המתקיים במשולש ישר זוית בין שלשת הצלעות של המשולש, המשמש ככלי יסודי בהרבה מאד עניינים וחישובים, ובסיס לנוסחאות בחשבונות המשולשים (טריגונומטריה בלע"ז). קשר זה משמעו ששטח הרבוע הנסמך על אלכסון המשולש ישר זוית, שוה לסכום שטחי הריבועים הנסמכים על הצלעות הנצבות אחת לשניה. (המקובל אצל חכמי אומות העולם בשם משפט פיתגו').
וז"ל ספר יסוד עולם לרבינו יצחק הישראלי תלמיד הרא"ש, המאמר הראשון, פרק ב', שער ד', לימוד כח (עמ' 7): "(עיין צורה לג) דע כי כל משולש שהוא בעל זוית ניצבת, כגון משולש אבג שזוית א' ממנו היא ניצבת, יש לו סגולה נפלאה, שים אלי' לבך כי הרבה תצטרך אלי' בחכמת התכונה. והוא, כי המרובע הנכון הבנוי על צלעו הא' שהוא יתר זוית הניצבת, שהוא כעין צלע בג מהצורה, הוא שוה בשטחו לשטחי שני המרובעים כאחד הבנויים על א' א' מב' צלעיו הנשארים החופפים זויתו הניצבת שהן כעין צלע אג וצלע אב מהצורה". ובהמשך מבוארת שם ההוכחה לכך, וכמו שמובאת הוכחה כזו בספר פני שלמה לר' שלמה גאנצפריד על בבא בתרא ק"ב. (ראה הערה ו' בסוף). ואין זו כהוכחה שנביא לקמן, אך יש כמה הוכחות לסגולה זו.
וכן מובא בפירוש הרא"ש למסכת כלאים פ"ה מ"ה וז"ל: "ולפי חשבון חכמי המדות דכל מרובע שני קווים כמרובע אלכסונא", ושני הקווים הם הניצב והשוכב, ופירושו - דסכום מרובע קו השוכב ומרובע קו הניצב הוא כמרובע האלכסון. וכן מובא בתשב"ץ ח"א סי' קס"ה על הגמ' הנ"ל.
וז"ל החזו"א או"ח סי' קט"ו סק"א ד"ה אם: "דכל אלכסון יש בכפלו ככפלת שוכב בשוכב ונצב בנצב וכו'. והנה אלכסון כשהוכפל בעצמו, כפל שוכב בשוכב ונצב בנצב וכו'". וראה עוד, חזו"א זרעים, כלאים סי' י"ב סק"א באריכות.
[הערה: כיון שמספר כפול עצמו הוא שטח של ריבוע שאורכו ורוחבו שווים, לכן נקרא - "מספר בריבוע" למספר כפול עצמו. ולכן בהמשך הדברים כשנזכיר מספר בריבוע, הכוונה למספר כפול עצמו].
חשבונות התכונה ומהלכי הכוכבים, השמש והירח ושאר כוכבי שצ"מ חנכ"ל (שבתאי, צדק, מאדים, חמה, נוגה, כוכב, לבנה, שבת קכ"ט:), ג"כ מבוססים על הקשר הנ"ל, וכיון שחשבונות אלו ידעו בני יששכר יודעי בינה לעתים (ראה רמב"ם זמנים קידוש החודש פי"ז הכ"ד: "חכמת התקופות והגימטריות שחברו בה חכמי יון ספרים הרבה וכו' אבל הספרים שחברו חכמי ישראל שהיו בימי הנביאים מבני יששכר לא הגיעו אלינו"), על מנת שיוכלו לחשב האם אפשר יהיה לראות את הירח בליל הראיה הראשון ועל ידי כך לבדוק העדים ולחקור אמיתות עדותם. וחכמה זו של הנדסת המשולשים ידיעתה מחויבת עוד מזמן הרבה קודם תקופת חכמי יון, כבר מתחילת הזמן של קביעת החודש על פי הראיה, כלומר ממתן תורה (וז"ל התשב"ץ ח"א סי' ק"ד: "וחכמי יון חקרו יפה בזאת החכמה מחקר מסכים לקבלתנו ואולי הגיעו אליהם ספרינו בבית שני כשגברה ידם עלינו וקראו אותם החכמות על שמם אע"פ שהם חכמתנו באמת וצריכות לתורתנו לדעת ענין קביעות החדשים והמועדים אשר תלויים בהם הרבה מצות חמורות כחיוב כרת וזולתם". וכן בספר הכוזרי מאמר שני אות כ': "שהם גונבי החכמה", ובפירוש אוצר נחמד שם כתב: "אל תדמה בנפשך כי כחם ועוצם שכלם עשה להם כל התכונה הזאת שבידם על ידי מבטיהם ודקדוק סברותיהם, אבל כבר היתה החכמה הזאת טמונה בחביון חכמי ישראל בהיותם שרויים על אדמתם, מימי שלמה המלך והנביאים וקבלתם ממשה רבינו ע"ה בזמני השנה לשמש והחודש לירח, וכבר עמדו עליה בני עמנו כפי האפשר, וכשנגלו נגלתה גם החכמה עמם וכל הספרים הלכו בגולה עד שהורקו מכלי אל כלי והגיעו ליוונים ואז אריסטו שהיה מלמד אלכסנדר מוקדן שלט בכל ספרי החכמה של בני ישראל ומשם הגיעה החכמה לבטלמיו"ס וחביריו"), על כרחך שיש בתורה מקום בו רמוזה חכמה זו, ועל כל פנים הנוסחא הנ"ל. ועוד, שדבר זה הוא מגדרי המציאות של עולמנו, ואיתא בבראשית רבה ריש פרשת בראשית: "כך היה הקב"ה מביט בתורה ובורא את העולם".
והאיר ה' עיני, גל עיני להביט נפלאות בתורתו, ומצאתי פסוק בתורה המרמז על החשבון הזה. ולא עוד, אלא שמתוך הפסוק נרמזים שלשיות מספרים שלמים של צלעות המשולשים המתארות את הקשר הנ"ל, והדרך איך למצוא אותם, לאינסוף כַּמוּתָם. ועוד, נרמזת בו נוסחא למצוא את הקשר בין שלשת המספרים השלמים השייכים למשולש כנ"ל. ולבסוף, אף נרמז בו הדרך להוכיח קשר זה (וראה הערות א' ב' בסוף המאמר).
ואם תשאל, לשם מה צריכה התורה לגלות נוסחא למציאת עוד שלשיות, ולשם מה צריך עוד נוסחא לקשר ביניהן. שלש תשובות בדבר. האחת, כדי לחזק את הרמז שזהו הסוד הטמון בפסוק זה, ולא מקרה. ועוד, להראות שאינו רק מקרה אחד אלא הוא כלל קבוע לכל המשולשים ישרי הזוית. ועוד, לפאר את תורתנו הקדושה ולהגדיל כבודה, ולהראות דלית מידי דלא רמיזי באורייתא, והפוך בה והפוך בה דכולא בה.
ב. והנה הפס' הוא בפרשת ויקהל (שמות ל"ח ה'): "וַיִצֹק אַרְבַּע טַבָּעֹת בְּאַרְבַּע הַקְּצָוֹת לְמִכְבַּר הַנְּחֹשֶׁת, בָּתִּים לַבַּדִּים".
בפסוק זה יש תשע תיבות, המחולקות לשתי קבוצות, קבוצה אחת היא ארבע תיבות שבכל אחת מהן ארבע אותיות, וקבוצה שניה היא חמש תיבות שבכל אחת יש חמש אותיות. והרי לנו לפנינו השלישיה הראשונה של המספרים השלמים של צלעות המשולש, הנרמזים באופן של שטחי הריבועים, כלומר כל מספר כפול בעצמו, והם שלש ארבע וחמש. שלש מרומז במספר התיבות, שלש כפול שלש הן תשע. ארבע מרומז בקבוצה הראשונה, ארבע תיבות כפול ארבע אותיות כל אחת, שהן ס"ה שש עשרה אותיות. וחמש מרומז בקבוצה השניה חמש תיבות כפול חמש אותיות כל אחת, שהן ס"ה עשרים וחמש אותיות. והקשר ביניהן הוא, שהאלכסון, הוא המספר חמש, כפול עצמו, שוה לסכום ריבועי שני המספרים האחרים, דהיינו שלש בריבוע ועוד ארבע בריבוע (3 × 3 ﬩ 4 × 4 = 5 × 5).
[ואין לומר שהמספר הראשון הוא ט', ולא שהמספר ט' הוא ריבועו של המספר הראשון, והטעם, דכיון ששאר המספרים נתנו ע"י מנין של חלק מן תיבות הפסוק, וריבועם מרומז ע"י מספר האותיות שבכל תיבה ותיבה כפול מספר התיבות, ע"כ שמנין התיבות אינו ריבועם. אבל המספר ט', שהוא סך כל התיבות שבפסוק, ואין בתיבות אלו מספר אותיות מיוחד לתיבות אלו ששונה משאר התיבות, על כרחך לומר, שהריבוע כבר ניתן רק במספר התיבות. והטעם לאופן רמז זה דווקא כך יבואר בהמשך. אמנם, ראה אות ה', רמז נוסף לשלשית מספרים נוספת, שבה, המספר ט', כמנין התיבות של כל הפסוק, הוא המספר עצמו].
ג. והנה בזה נמצא רק שלשיה אחת. אך באמת לכאורה, היה הקשר יותר ברור אם היה בפסוק י"ב תיבות, ושלש קבוצות, והקבוצה הנוספת היא שלש תיבות בנות שלש אותיות כל אחת. או באופן אחר, שמרמז על הסכום של שני הריבועים הקטנים ששוה להריבוע של הגדול, כגון שיהיו בפסוק כ"ה תיבות והוא סכום של ריבועי שני המספרים הקטנים, ובפס' ט' תיבות של ג' אותיות כל אחת וט"ז תיבות של ד' אותיות כל אחת, והקשר הוא במנין התיבות, והאותיות משמשות רק לחלק בין הקבוצות. ואולי נמצא כזה פסוק וצריך חיפוש וגילוי עיניים.
ד. אכן, באמת באופן שנרמז כנ"ל, יש סוד ונוסחא למצוא עוד שלשיות עד לאינסוף. דהיינו, דכיון שהריבוע של המספר הקטן ניתן רק במספר התיבות של כל הפסוק ולא גם ע"י מספר האותיות, הרי הוא בא לרמז, שריבוע המספר הקטן הוא סכום שני המספרים האחרים (5 ﬩ 4 = 3 × 3).
עוד מונח ברמז זה, שהמספר הקטן הוא מספר אי זוגי, כגון שלש, וכגון כל מספר אי זוגי אחר הבא אחריו.
ועוד מונח ברמז זה, ששני המספרים האחרים, הם מספרים עוקבים אחד אחר השני, כגון ארבע ואחריו חמש, ושהקטן שבהם הוא תמיד מספר זוגי (וראה הערה ג' בסוף המאמר).
[וידידי הרה"ג אליהו מיסקובסקי שליט"א, העיר, דיש עוד רמז לכך, דהנה קבוצת התיבות בנות ארבע אותיות וקבוצת החמש תיבות בנות חמש אותיות, אינן מרוכזות כל סוג בפני עצמו, אלא תחילה יש ג' תיבות בנות ד' אותיות ואח"כ ד' תיבות בנות ה' אותיות ולבסוף תיבה אחת בת ד' אותיות וסמוכה לה תיבה אחת בת ה' אותיות. (ולקמן יבוארו עוד רמזים הנובעים מחלוקה זו בדווקא). ובא לרמז בשתי התיבות האחרונות שהן סמוכות, שהמספרים שעליהן הן רומזות, הם גם כן סמוכים בדווקא, דמשום כך ניתן הרמז הנוסף לאותו ענין, למימר דכן הוא בקביעות בכל השלישיות].
ולפי זה, השלישיה הבאה תהיה, המספר הקטן, מספר אי זוגי הבא, הוא חמש, וריבועו - עשרים וחמש, והוא סכום של שני מספרים עוקבים, והם שתים עשרה ושלש עשרה, שסכומם עשרים וחמש. ונמצא באמת הקשר הנ"ל בין שלשתם, שהרי עשרים וחמש (חמש בריבוע), ועוד שנים עשר בריבוע שהוא מאה וארבעים וארבע, הם ס"ה מאה וששים ותשע, שהוא שלש עשרה בריבוע (13 × 13 = 12 × 12 ﬩ 5 × 5). וכן הלאה, כגון שבע בריבוע, הוא ארבעים ותשע והוא סכום של עשרים וארבע ועשרים וחמש, ולכן הקשר יהיה: 25 × 25 = 24 × 24 ﬩ 7 × 7.
ה. ולחזק את הרמז הזה, הנה בפסוק יש עוד רמז לשלישיה נוספת בשני אופנים. האופן הראשון הוא לפי מנין תיבות הפסוק, כלומר שהמספר הקטן בשלישיה זו הנוספת הוא מנין התיבות, דהיינו ט', וריבועו פ"א, והוא סכום שני מספרים עוקבים, שהגדול שבהם הוא מנין האותיות שבפס', דהיינו מ"א, וא"כ המספר השני הוא מ'. והאופן השני הוא לפי מנין האותיות שבפס', מ"א כנ"ל, שהוא סכום ריבועי שני המספרים הגדולים מהשלישיה הראשונה, כלומר, ריבוע ד' הוא ט"ז וריבוע ה' הוא כ"ה וסכומם הוא מ"א. ודבר זה בא ללמד על הקשר בין שלישיה זו לשלישיה הראשונה, ומתוך כך מתבאר ג"כ מדוע ריבוע המספר הקטן בשלישיה הראשונה - ג', לא מרומז בסכום האותיות בפסוק ובתיבות השייכות לו, כדוגמת שני המספרים הגדולים.
והקשר הנ"ל עתה הוא: מ"א כפול מ"א הוא סכום של מ' כפול מ' ועוד ט' כפול ט' (דהיינו: 41×41 = 40×40﬩9×9).
ו. והנה יש בפסוק עוד רמז. דהרי לכאורה, היה יכול להיות הרמז יותר יפה, אילו שתי הקבוצות היו נפרדות, כלומר ד' תיבות רצופות בנות ד' אותיות כל אחת, ואח"כ ה' תיבות רצופות של ה' אותיות כל אחת. אכן בסדר, שהוא בפסוק יש רמז נוסף. ובפסוק הסדר הוא, תחילה ג' תיבות בנות ד' אותיות, ואח"כ ד' תיבות בנות ה' אותיות כ"א, ואח"כ תיבה אחת בת ד' אותיות ותיבה אחת בת ה' אותיות. ומתוך סדר זה רואים בשני אופנים את אותם שני מספרים עוקבים, דהיינו שלש וארבע. אופן ראשון בשלשת התיבות הראשונות, שבכל אחת ארבע אותיות, ואופן שני בשתי הקבוצות הראשונות, שבאחת יש שלש תיבות ובשניה יש ארבע תיבות. א"כ שני המספרים הם שלש וארבע. שהרי יכול היה להיות סדר התיבות שונה, ובחלוקה אחרת של קבוצות התיבות, כגון, ויצק בארבע הקצות למכבר הנחשת ארבע טבעת בתים לבדים. ובודאי דלא בכדי נכתב הפסוק בסדר כמות שהוא, וכפטיש יפוצץ סלע יוצא הפסוק לכמה טעמים. והרמז הוא, שמכפלתם תתן את סכום שלשת המספרים של השלשיה, שהמספר הראשון שלה, הוא המספר הקטן מבין שני המספרים העוקבים הנ"ל. כלומר, הנוסחא אומרת כך: המספר הראשון של השלשיה, כפול עוקבו, הוא סכום שלשת מספרי השלישיה. ובנדוננו, המספר הראשון הוא ג', ולכן: ג' כפול ד' הוא סך של ג' ועוד ד' ועוד ה'. או בשלשיה הבאה: ה' כפול ו' הוא סך של ה' ועוד י"ב ועוד י"ג.
ז. וכן בשלשיה הנוספת המרומזת בפס' (כדלעיל אות ה'): ט' כפול י', הוא סך של ט' ועוד מ' ועוד מ"א. וסכום זה מרומז ג"כ בפסוק באופן אחר, דהיינו, כיון שהמספר הראשון הוא מנין התיבות, הרי מכפלתו בעוקבו, הוא סכום שלשת המספרים של השלשיה, ומרומז סכום זה בסכום הגימ' של ראשי התיבות של ט' התיבות, שהוא צ' (צ' = ו' ﬩ א' ﬩ ט' ﬩ ב' ﬩ ה' ﬩ ל' ﬩ ה' ﬩ ב' ﬩ ל').
ח. והנה, להוכיח את הקשר הנ"ל יש כמה דרכים, ודרך אחת, נפלא, איך היא מרומזת בענין הפסוק שעוסק במזבח הנחושת, ובלשון הפסוק, ובשלישית המספרים הנ"ל (באות ב') המרומזים, כנ"ל. מזבח הנחושת גודלו ה' אמות על ה' אמות, והוא כריבוע של המספר הגדול. שטח זה של המזבח הוא סכום ריבועי המספרים הקטנים, ודרך ההוכחה, הוא חלוקת השטח לחמשה חלקים, ארבעה חלקים הם שווים, בצורת משולש ישר זוית כל אחד, בגודל שלשת המספרים הנ"ל במשולש המדובר. כלומר, האלכסון של המשולש של כל אחד מד' המשולשים הוא צלע המזבח, ה' אמות, ושתי הצלעות האחרות של המשולש, הניצבות אחת אל השניה, נפגשות בתוך שטח הרבוע הגדול. וכן הוא לכל ד' המשולשים, הם נשענים על כל צלע של המזבח, ונוגעים אחד בשני בהתאמה, עד שנשאר באמצע השטח, רבוע קטן, הוא החלק החמישי, ושטחו אמה על אמה, כשטח מקום המערכה שעל מזבח זה, כדאיתא בזבחים (ס"ב.). יצירת המשולשים הללו, והריבוע הקטן הפנימי, היא ע"י עשית קוים, ארבעה במספר, מכל ארבעת קצות פינות המזבח (ראה הערה ד' בסוף), וזהו שכתוב בפסוק פעמַיִם תיבת ארבע, כנגד ד' הקצוות וכנגד ד' הקוים (ראה הערה ה' בסוף). ובחלוקת קבוצות התיבות בפסוק נרמזת צורת חמשת השטחים. בקבוצת התיבות הראשונה והשניה, ג' תיבות של ד' אותיות, וד' תיבות של ה' אותיות, מרומזים הצלעות הנצבות של המשולשים שאורכם ג' אמות וד' אמות, ובשתי התיבות האחרונות, שהן כמו שתי קבוצות שהרי לכל אחת מס' שונה של אותיות, נרמזת צורת השטח החמישי שהוא אמה על אמה. (ואעפ"י שבציור הרכבת השטח, השטח של אמה על אמה, אינו מקביל לשטח המזבח של ה' על ה' כמו שבאמת היה מקום המערכה, מ"מ רמז יש בו על גודל השטח הזה, ושהוא במרכז המזבח וכמו כן במרכז הריבוע המחולק).
בציור א' נראה השטח ה' על ה' בחלוקה הנ"ל לחמשה שטחים, ובציור ב' נראה איך מרכיבים את ה' החלקים הנ"ל באופן שונה, כך שנוצרים ב' שטחים קטנים, האחד שטחו ג' על ג', והשני ד' על ד', ונמצא שהרכבנו מרבוע של ה' על ה', שני ריבועים כנ"ל, כפי הקשר המנוסח לעיל.
קשר זה נכון לכל גודל של ד' משולשים, וריבוע פנימי, אלא ניתן דוגמא אחת במזבח ע"י ריבוע של המערכה אמה על אמה, כי זה האופן היחידי שבו אמות כל צלעות המשולשים הן שלמות. מכל מקום, מדרך ההרכבה של חמשת החלקים הנ"ל, ללא קשר לגודלם, מוכח הקשר הזה והסגולה הזו שבמשולש ישר זוית, לכל צורה של משולש כזה, כי תמיד צלע הריבוע הפנימי הוא ההפרש בין שתי הצלעות הקטנות של המשולש, וכבציור ב', הריבוע הזה משלים הצורה לקבלת שני ריבועים צמודים, שבכל אחד מהם יש את השטח של הריבוע הנסמך על צלעות המשולש הניצבות. וכדלעיל כל השטחים נלקחו מריבוע גדול, שצלעו, אלכסון המשולש המדובר. שוב העירוני שכעין זה כתב בשו"ת מעיל צדקה סי' כ"ח.
ט. באות ח' הראנו את חלוקת הריבוע ה' על ה' לחמשה חלקים, באופן מסוים. והנה, יש לכאורה להקשות שאפשר להציע חלוקה אחרת ולהגיע לאותה תוצאה, וא"כ אין החלוקה המוצעת לעיל הכרחית. דהיינו, כגון חלק א' הוא ריבוע של ג' על ג' במרכז השטח של ה' על ה', וסביבו ד' מלבנים בגודל א' על ד', שצרופם יחד יתן ריבוע של ד' על ד'. כבציור ג. הרי יש כאן ד' קוים שבאמצעותם חלקנו את הריבוע הגדול לחמשה חלקים באופן שונה. יש לומר דשתי תשובות בדבר. אחד, דבאופן זה של חלוקה הוא רק במדות אלו, ואינו יכול להיות דוגמא ליצירת שני ריבועים כל שהם. לעומת זאת, בחלוקה דלעיל אות ח', נלמד מזה אופן חלוקה דומה למשולשים אחרים, וע"י כך רומזת התורה על ההוכחה לכל צורות משולשי ישר זוית, ובודאי מסתבר שזו הכוונה בחלוקה הראשונה, שיש בה תועלת גדולה ולימוד כללי. ועוד, כיון שבפסוק מתייחס מספר ארבע אחד לקצוות המזבח, הרי זה רומז שהקוים צריכים לצאת מהפינות ולא מאמצע הצלע, ועל כרחך הוא באופן של משולשים.
י. ויהי רצון שיפתח ה' את עינינו, למצוא מפתחות רמזים לגלות את סודות התורה בפסוקים, גל עיני ואביטה נפלאות בתורתיך, ויתרבה כבוד שמים בכבוד התורה.
♦

הערות

א. ואם אמור יאמר העבד ליצרו, מקרה הוא רמז זה ולא מוכח שזו הכוונה - על משולש ישר זוית וסגולתו. אומר לו, על כי הישנות הרמזים שלשה וארבעה באותו ענין, על העיקר והמסתעף, מוכיח הוא כי נכון הוא הדבר, דמכאן ועל כך הוא הרמז, ועל כן ממהר אנוכי לפרסמו להרבות כבוד שמים בתפארת לתורה.
ב. בפסוק חסרות האותיות: ג' ז' ס' פ'. ויש לומר דבא לרמז על פסוק אחר בתורה כך: ג' ז' ס'וף פ'סוק. כלומר, אותיות ג' ז' מופיעות בתיבה אחת בסוף פסוק אחד בתורה. ומצאנו פסוק זה בפרשת לך לך (בראשית ט"ו ט'): "...ואיל משולש ותור וגוזל", וזהו הפסוק היחיד בתורה שיש בו תיבת משולש. ואעפ"י שמשמעותו קצת שונה, מ"מ רמז יפה הוא לעניננו, לומר, דבפסוק זה שבויקהל מוסתר ענין המשולש.
ג. ויש לציין, דרמז זה באות ד' שצריכים שני המספרים הגדולים, להיות סמוכים ועוקבים, ניתן בפסוק רק לאלו שאינם יודעים דרכי החשבון (אלגבר"ה בלע"ז). אך לאלו היודעים, אין צורך ברמז, דאחר שניתנה נוסחא זו, שריבוע המספר הקטן הוא סכום שני המספרים האחרים, על כרחך ומוכח בדרכי החשבון, ששני המספרים עוקבים, ושהקטן מבין שניהם הוא זוגי בדווקא, ואכמ"ל. ומ"מ טרח ורמז לה קרא לאלו ולאלו.
וכן הרמז שכתבנו באות ה', כלומר שהשלישיה הנוספת היא זו שהמספר הקטן בה הוא ריבוע של המספר הקטן מהשלישיה הראשונה ומרומז במנין התיבות, וכן שהמספר הגדול באותה שלישיה הוא סכום ריבועי שני המספרים הגדולים מהשלישיה הראשונה ומרומז במנין האותיות, יש קשר בין שני האופנים הללו שמוכח בדרכי החשבון הנ"ל, ואכמ"ל, רק ציינו זאת כדי לבאר גם ע"י זה, מדוע הרמז למספר הראשון ניתן באופן שונה מהרמזים לשני המספרים הגדולים, בשלישיה הראשונה, כיון שגם הרמזים למספר הקטן ולמספר הגדול בשלישיה הנוספת מיוסדים על כך.
ד. דרך עשית הקוים הוא כך: אורכם יהיה כאורך הצלע הגדולה מבין שתי הצלעות הקטנות של המשולש, שהן הניצבות אחת אל השניה. ועוד, כל קו יוצא מהפינה בזוית מצלע הריבוע הגדול, והזוית הזו שוה בכל הקוים בהתאמה. ומתוך כך נמצאו כל ארבעת המשולשים שוים בצורתם וגודלם. ואכמ"ל.
ה. וליישב עוד קצת את הענין הרמוז אוסיף סעד, והוא, "ויצק" - ר"ת: ויצייר קוים, "ארבע" - במספר, "טבעת" - כמו שטבעת מקיפה שטח, כך ע"י קוים אלו סוגרים שטחי המשולשים, ע"י הוספת ניצב ושוכב, כי האלכסון כבר מצויין בצלע המזבח, וכן "טבעת" בגימ' - "ניצב שוכב", עה"כ. ואל תתמה על לשון טבעת, שהוא מוסב על דבר עגול, והכא איירי במשולש, דהא כעין זה פירש"י תיבת "כרכב" (שמות כ"ז ה') וז"ל: "כל דבר המקיף סביב בעיגול קרוי כרכב וכו' אף למזבח עשה חריץ סביבו", והרי המזבח מרובע.
ו. הפני שלמה השתמש בסגולה זו, על מנת לבאר את לשון התוס' ב"ב ק"ב. סד"ה וכגון, דז"ל: "ועוד, על כרחך אלכסון של ה' על ה' גדול יותר דהא בה' על ה' יש כ"ה אמות ובארבע על ו' יש כ"ד", דבפשוטו אין לו מובן, אלא הכוונה, דיחס האלכסון אל הצלע הגדולה של המרובע, גדול יותר במרובע ששטחו גדול יותר, מאשר במרובע ששטחו קטן ממנו, אעפ"י שהיקף שני המרובעים שוה. וכן מוכח ביאור הפני שלמה, מתוך לשון התוס' שבת פ"ה: סד"ה והא, דז"ל: "שאלכסון של טפח על טפחיים פחות מאלכסון של טפח על טפח", והא אלכסון של טפח על טפחיים הוא יותר מטפחיים, ואילו של טפח על טפח הוא פחות מטפח וחצי, אלא על כרחך הכוונה ליחס בין האלכסון לצלע הגדולה של המרובע דאז הוא הגדול ביותר במרובע שצלעותיו שוות, וכן שטחו הוא הגדול ביותר מבין המרובעים שהיקפם שוה, וכמבואר בחכמת מנוח, (שבת שם). וכן הוא בתוס' עירובין ה'. ד"ה דפתח, כפי שבארוהו המהרש"א והגהות הב"ח עליו, ע"ש.
♦ ♦ ♦